Целые неотрицательные числа это

Целые неотрицательные числа это

Отрицательные числа подчиняются практически тем же правилам, что и натуральные, но имеют некоторые особенности.

  1. Если любое множество положительных чисел ограничено снизу, то любое множество отрицательных чисел ограничено сверху.
  2. При умножении целых чисел действует правило знаков: произведение чисел с разными знаками отрицательно, с одинаковыми — положительно.
  3. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на обратный. Например, умножая неравенство 3 −10.
  4. При делении с остатком частное может иметь любой знак, но остаток, по соглашению, всегда неотрицателен (иначе он определяется не однозначно). Например, разделим −24 на 5 с остатком: .

Исторический очерк

Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные.

Впервые отрицательные числа были частично узаконены в Китае, а затем (примерно с VII века) и в Индии, где трактовались как долги (недостача), или признавались как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата. Правда, умножение и деление для отрицательных чисел тогда ещё не были определены.

Диофант в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако и он рассматривал их лишь как временные значения.

Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математики Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными. В Европе признание наступило на тысячу лет позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». Даже Паскаль считал, что 0 − 4 = 0 , так как ничто не может быть меньше, чем ничто. Бомбелли и Жирар, напротив, считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус), хотя алгебраически это совершенно разные понятия.

В XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция 1:(-1) = (-1):1 — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно»). Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии.

Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке (Уильям Гамильтон и Герман Грассман).

Литература

  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6
  • Глейзер Г. И.История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Неотрицательное число" в других словарях:

Вещественное число — Вещественное, или действительное число [1] математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение… … Википедия

как правило, небольшое неотрицательное целое число — Часть кодирования, которая представляет значения неограниченного неотрицательного целого числа, но где более вероятно, что небольшие значения встречаются чаще (МСЭ Т Х.691). [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики… … Справочник технического переводчика

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО — вещественное число, положительное число, отрицательное число или нуль. Понятие Д. ч. возникло путем расширения понятия рационального числа. Необходимость этого расширения обусловлена как практическим использованием математики при выражении… … Математическая энциклопедия

Простое число — Простое число это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа больше единицы… … Википедия

Читайте также:  Как установить зону на смарт тв самсунг

натуральное число — ▲ целое число ↑ выражающий, действительный, численность натуральное число неотрицательное целое число; выражает число отдельных целых объектов в какой л. совокупности; обозначают количество реальных целых объектов; выражение численности. четверка … Идеографический словарь русского языка

Десятичная дробь — Десятичная дробь разновидность дроби, которая представляет собой способ представления действительных чисел в виде где знак дроби: либо , либо , десятичная запятая, служащая разделителем между целой и дробной частью числа… … Википедия

Конструктивные способы определения вещественного числа — При конструктивном подходе к определению вещественного числа вещественные числа строят, исходя из рациональных, которые считают заданными. Во всех трёх нижеизложенных способах за основу берутся рациональные числа и конструируются новые объекты,… … Википедия

Стандартный словарь Forth — Содержание 1 Определения 2 Операции 2.1 Арифметические 3 … Википедия

абсолютная величина — (модуль) действительного числа а, неотрицательное число (обозначается |а|), определяемое так: если а≥0, то |а| = а, если а … Энциклопедический словарь

Правильный многоугольник — Правильный семиугольник Правильный многоугольник это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны . Определение правильного многоугольника может зависеть от определения … Википедия

Раздел II. Целые неотрицательные числа

Введение

Понятие числа является одним из основных в математике. Число служит орудием, при помощи которого математика и другие науки изучают объективные закономерности реального мира.

Современное состояние понятия "число" сложилось в результате длительного исторического пути развития, в процессе решения постоянно усложняющихся практических и теоретических задач.

Было время, когда люди не умели считать. Число воспринималось ими как одно из свойств предметов, подлежащих перечислению. Решение практических задач, связанных со счетом, было сопряжено с огромными трудностями.

Шагом в развитии понятия числа явился счет с помощью определенных предметов, и в частности с помощью пальцев рук и ног. Возможно на этом этапе и определилась особая роль чисел "пять", "десять", "двадцать", появились названия некоторых чисел.

Числовой ряд возник не сразу. История его формирования длительная, запас чисел, которые употребляли, ведя счет, увеличивался постоянно.

И, конечно, не сразу люди поняли, что числовой ряд можно бесконечно продолжать. Идея бесконечности натурального ряда чисел появилась, вероятно, когда общество достигло достаточного уровня цивилизации. С ее развитием встречаемся в работе древнегреческого математика Архимеда, жившего в 3 в. до н.э. В своем сочинении "Исчисление песчинок" он показал, что ряд чисел может быть продолжен бесконечно. Архимед изобрел способ, который позволял образовывать и словесно обозначать сколь угодно большие числа. В связи с этим он утверждал, что можно пересчитать не только песчинки на берегу моря, но и подсчитать их число в шаре достаточно большого радиуса.

В результате длительного процесса развития понятия числа человек научился записывать числа и выполнять действия над ними. С рождением математики были изучены свойства этих чисел и операций над ними.

Во второй половине 19 в. понятие о числе получило логическое обоснование. Была разработана аксиоматическая теория натурального числа. Большое влияние на исследование природы натурального числа оказало создание в конце 19 в. теории множеств.

Для школьной математики число является тем понятием, с которого начинается обучение. И уже в начальных классах учащиеся знакомятся с различными ролями натурального числа. Отвечая на вопрос: "Сколько машин изображено на рисунке?", они имеюм дело с числом как количественной характеристикой множества предметов. Производя счет предметов, оперируют порядковым натуральным числом. В задачах, связанных с измерением величин, число выступает в новой роли — как значение величины при выбранной единице величины, как мера величины. Много внимания уделяется в НКМ и еще одной роли числа — число как компонента вычислений. Таким образом, натуральное число многолико и все его стороны должны быть поняты учащимися начальных классов. Поэтому важнейшей задачей учителя является овладение теми теориями натурального числа, в которых отражаются различные роли натурального числа в практической деятельности.

Читайте также:  Как настроить звук на телефоне dexp

Одним из способов строгого логического обоснования натурального числа и операций над числами является аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Начав изучение чисел именно с этого подхода, рассмотрим затем теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля, отношений между числами, операций над ними. Рассмотрим натуральное число как результат измерения величин; способы записи ЦНЧ, правила действий над многозначными числами в десятичной и других системах счисления; рассмотрим некоторые вопросы делимости ЦНЧ.

Лекция 1. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел

Аксиоматический метод в математике.

Основные понятия и отношения аксиоматической теории натурального ряда. Определение натурального числа.

Сложение натуральных чисел.

Умножение натуральных чисел.

Свойства множества натуральных чисел

Вычитание и деление натуральных чисел.

Аксиоматический метод в математике

При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила:

1. Некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения.

2. Формулируются аксиомы, которые в данной теории принимаются без доказательства, в них раскрываются свойства основных понятий.

3. Каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, даётся определение, в нём разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятию.

4. Каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано. Такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.

Система аксиом должна быть :

а) непротиворечивой:мы должны быть уверены,что, делая всевозможные выводы из данной системы аксиом, никогда не придем к противоречию;

б) независимой: никакая аксиома не должна быть следствием других аксиом этой системы.

в) полной, если в ее рамках всегда можно доказать или данное утверждение, или его отрицание.

Первым опытом аксиоматического построения теории можно считать изложение геометрии Евклидом в его "Началах"(3 в. до н.э.). Значительный вклад в развитие аксиоматического метода построения геометрии и алгебры внесли Н.И. Лобачевский и Э.Галуа. В конце 19 в. итальянским математиком Пеано была разработана система аксиом для арифметики.

Основные понятия и отношения аксиоматической теории натурального числа. Определение натурального числа.

В качестве основного(неопределяемого) понятия в некотором множестве N выбирается отношение «непосредственно следовать за», а также используются теоретико-множественные понятия, а также правила логики.

Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а’.

Отношения «непосредственно следовать за» удовлетворяет следующим аксиомам:

Аксиомы Пеано:

Аксиома 1. В множестве Nсуществует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей и обозначать символом 1.

Аксиома 2. Для каждого элемента аиз Nсуществует единственный элемент а’, непосредственно следующий за а.

Аксиома 3. Для каждого элемента аиз N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

Аксиома 4. Всякое подмножество Ммножества Nсовпадает с N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что асодержится в М, следует, что и а’содержится в М.

Определение 1. Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы — натуральными числами.

В данном определении ничего не говорится о природе элементов множества N. Значит, она может быть какой угодно. Выбирая в качестве множества N некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, мы получим модель данной системы аксиом.

Читайте также:  Гугл диск личный кабинет вход

Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел: 1,2,3,4. Натуральный ряд начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); начиная от числа 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4).

Итак, мы начали аксиоматическое построение системы натуральных чисел с выбора основного отношения «непосредственно следовать за» и аксиом, в которых описаны его свойства. Дальнейшее построение теории предполагает рассмотрение известных свойств натуральных чисел и операций над ними. Они должны быть раскрыты в определениях и теоремах, т.е. выведены чисто логическим путем из отношения «непосредственно следовать за», и аксиом 1-4.

Первое понятие, которое мы введем после определения натурального числа, — это отношение «непосредственно предшествует», которое часто используют при рассмотрении свойств натурального ряда.

Определение 2. Если натуральное число bнепосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим (или предшествующим) числу b .

Отношение «предшествует» обладает рядом свойств.

Сложение натуральных чисел

По правилам построения аксиоматической теории, определение сложения натуральных чисел нужно ввести, используя только отно­шение «непосредственно следовать за», и понятия «натуральное чис­ло» и «предшествующее число».

Предварим определение сложения следующими рассуждениями. Если к любому натуральному числу а прибавить 1, то получим число а’, непосредственно следующее за а, т.е. а + 1 = а’ и, следовательно, мы получим правило прибавления 1 к любому натуральному числу. Но как прибавлять к числу а натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 2 + 3 = 5, то сумма 2 + 4 = 6, которое непосредственно следует за числом 5. Происходит так потому, что в сумме 2 + 4 второе слагаемое есть число, непосредственно следующее за числом 3. Таким образом, 2 + 4 =2+3 =(2+3)’. В общем виде имеем, .

Эти факты положены в основу определения сложения натуральных чисел в аксиоматической теории.

Определение 3. Сложениемнатуральных чисел называется алгеб­раическая операция, обладающая свойствами:

1) ;

2)

Число а + bназывается суммой чисел а и b , а сами числа аиbслагаемыми.

Теорема 6

( а, b N) а + b ≠ b.

Вычитание

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.

Определение 6. Вычитанием натуральных чисел а и bназывается операция, удовлетворяющая условию: а — b = с тогда и только тогда, когда b + с = а.

Число а — bназывается разностью чисел а и b, число ауменьшаемым, ачисло b — вычитаемым.

Теорема 13. Разность натуральных чисел аb существует тогда и только тогда, когда b

Что такое неотрицательные числа? Чем они отличаются от отрицательных? Как с помощью формулы записать неотрицательные числа?

Положительные числа — числа со знаком «+» перед ними (хотя «+» обычно не пишут), отрицательные — со знаком «-«.

Нуль не является ни положительным, ни отрицательным числом, он просто отделяет положительные числа от отрицательных.

Название «неотрицательные числа» говорит о том, что к таким числам следует отнести числа, которые не являются отрицательными.

Неотрицательные числа — это положительные числа и нуль.

Таким образом, множество неотрицательных чисел включает в себя все положительные числа и нуль.

Любое положительное число — натуральное, целое, обыкновенная или десятичная дробь — входит в множество неотрицательных чисел.

Любое положительное число больше нуля, поэтому с помощью формулы положительные числа можно записать как

0]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>

Значит, неотрицательные числа с помощью формулы можно записать как

Ссылка на основную публикацию
Холодильник издает звук сверчка
Шуметь и гудеть при работе может любой холодильник, независимо от периода эксплуатации. Вопрос в том, насколько шум превышает норму. Некоторые...
Флешке не присваивается буква
Каждому запоминающему устройству, подключаемому к компьютеру, Windows автоматически присваивает какую-то букву. По умолчанию, это первая свободная буква, находящаяся в английском...
Хамачи пароль отклонен что делать
Наступил “судный день”, и Хамачи не подключается к сети. Почему и что делать? В первую очередь, вину необходимо взвалить на...
Целые неотрицательные числа это
Отрицательные числа подчиняются практически тем же правилам, что и натуральные, но имеют некоторые особенности. Если любое множество положительных чисел ограничено...
Adblock detector