Как быстро выучить таблицу кубов и квадратов

Как быстро выучить таблицу кубов и квадратов

Вдохновленный этой статьей, решил поделиться с вами способом быстрого возведения в квадрат. Возведение в квадрат более редкая операция, нежели умножение чисел, но под нее существуют довольно интересные правила.


*квадраты до сотни

Для того, чтобы бездумно не возводить в квадрат по формуле все числа, нужно максимально упростить себе задачу следующими правилами.

Правило 1 (отсекает 10 чисел)

Для чисел, оканчивающихся на 0.
Если число заканчивается на 0, умножить его не сложнее, чем однозначное число. Стоит лишь дописать пару нулей.
70 * 70 = 4900.
В таблице отмечены красным.

Правило 2 (отсекает 10 чисел)

Для чисел, оканчивающихся на 5.
Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно умножить первую цифру (x) на (x+1) и дописать к результату “25”.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
В таблице отмечены зеленым.

Правило 3 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 40 до 50.
XX * XX = 1500 + 100 * вторую цифру + (10 — вторая цифра)^2
Достаточно трудно, верно? Давайте разберем пример:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 — 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
В таблице отмечены светло-оранжевым.

Правило 4 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 50 до 60.
XX * XX = 2500 + 100 * вторую цифру + (вторая цифра)^2
Тоже достаточно трудно для восприятия. Давайте разберем пример:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
В таблице отмечены темно-оранжевым.

Правило 5 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 90 до 100.
XX * XX = 8000+ 200 * вторую цифру + (10 — вторая цифра)^2
Похоже на правило 3, но с другими коэффициентами. Давайте разберем пример:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 — 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
В таблице отмечены темно-темно-оранжевым.

Правило №6 (отсекает 32 числа)

Необходимо запомнить квадраты чисел до 40. Звучит дико и трудно, но на самом деле до 20 большинство людей знают квадраты. 25, 30, 35 и 40 поддаются формулам. И остается лишь 16 пар чисел. Их уже можно запомнить при помощи мнемоники (о которой я также хочу рассказать позднее) или любыми другими способами. Как таблицу умножения 🙂
В таблице отмечены синим.

Вы можете запомнить все правила, а можете запомнить выборочно, в любом случае все числа от 1 до 100 подчиняются двум формулам. Правила же помогут, не используя эти формулы, быстрее посчитать больше 70% вариантов. Вот эти две формулы:

Формулы (осталось 24 цифры)

Для цифр от 25 до 50
XX * XX = 100(XX — 25) + (50 — XX)^2
Например:
37 * 37 = 100(37 — 25) + (50 — 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

Для цифр от 50 до 100

Например:
67 * 67 = 200(67 — 50) + (100 — 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Конечно не стоит забывать про обычную формулу разложения квадрата суммы (частный случай бинома Ньютона):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

Возведение в квадрат, возможно, не самая полезная в хозяйстве вещь. Не сразу вспомнишь случай, когда может понадобиться квадрат числа. Но умение быстро оперировать числами, применять подходящие правила под каждое из чисел отлично развивает память и «вычислительные способности» вашего мозга .

Кстати, думаю, все читатели хабры знают, что 64^2 = 4096, а 32^2 = 1024.
Многие квадраты чисел запоминаются на ассоциативном уровне. Например, я легко запомнил 88^2 = 7744, из-за одинаковых чисел. У каждого наверняка найдутся свои особенности.

Две уникальные формулы я впервые нашел в книге «13 steps to mentalism», которая мало связана с математикой. Дело в том, что раньше (возможно, и сейчас) уникальные вычислительные способности были одним из номеров в сценической магии: фокусник рассказывал байку о том, как он получил сверхспособности и в доказательство этого моментально возводит числа до сотни в квадрат. В книге так же указаны способы возведения в куб, способы вычитания корней и кубических корней.

Если тема быстрого счета интересна — буду писать еще.
Замечания об ошибках и правки прошу писать в лс, заранее спасибо.

Если по какой-то причине вы все еще не влюблены в математику, то мы знаем, что способно это мгновенно исправить. В восторг от арифметики и ее возможностей приходит любой, кому в руки попала книга «Магия чисел. Моментальные вычисления в уме и другие математические фокусы» (в России выпущена издательством «Манн, Иванов и Фербер»). Она учит считать в уме быстрее, чем на калькуляторе! Причем доступно это каждому – даже тем, кто себя считает гуманитариями до мозга костей. Но самое главное – издание дает возможность получить от математики удовольствие! Да-да, вы придете в восторг сами от себя, когда начнете молниеносно производить в уме многие вычисления. А еще – в восторг можно привести любую компанию, если продемонстрировать ей парочку математических фокусов. Почему бы и не произвести приятное впечатление и не удивить собеседников таким необычным способом? С разрешения издательства публикуем из этой книги семь простых примеров удивительной магии чисел.

1) МГНОВЕННОЕ УМНОЖЕНИЕ

Давайте начнем с одного из моих любимых трюков: как умножать в уме любое двузначное число на 11. Это очень легко, если вы знаете секрет.

Представьте следующую задачу: 32 × 11

Для ее решения нужно просто сложить цифры 3 + 2 = 5, а затем поместить пятерку между двойкой и тройкой. Вот и наше решение: 352

Что может быть легче? Теперь попробуйте 53 × 11

Поскольку 5 + 3 = 8, ответ достаточно прост: 583

Еще пример. Не подглядывая и не записывая, скажите, чему равно: 81 × 11? У вас получилось 891? Поздравляю!

Читайте также:  Дом ру подключение без роутера

Но пока не слишком воодушевляйтесь: я показал лишь половину того, что необходимо знать. Допустим, задача такая: 85 × 11

Несмотря на то что 8 + 5 = 13, ответ НЕ 8135! Как и прежде цифра 3 ставится между цифрами 8 и 5, но 1 добавляется к цифре 8 для получения правильного ответа 935.

Вот еще пример. Попробуйте перемножить 57 × 11. Так как 5 + 7 = 12, ответ: 627

Можно ли использовать этот метод для умножения трехзначных (или более «значных») чисел на 11? Безусловно. Например, для задачи 314 × 11 ответ все еще будет начинаться с 3 и заканчиваться на 4. Так как 3 + 1 = 4 и 1 + 4 = 5, ответ будет равен 3454.

2) ВОЗВЕДЕНИЕ ВО ВТОРУЮ (В КВАДРАТ) И БОЛЬШИЕ СТЕПЕНИ

Как вы, наверное, знаете, квадрат числа — это заданное число, умноженное само на себя. Например, квадратом 7 будет 7 × 7, то есть 49. Позже я научу вас простому способу, который позволит без труда вычислять квадрат любого двузначного и трехзначного (и состоящего из большего количества знаков) числа.

Этот метод особенно легко применять, если число заканчивается на 5. Поэтому опробуем его прямо сейчас.

1. Ответ должен начинаться с результата умножения первой цифры возводимого в квадрат числа на цифру, большую на единицу, чем первая цифра.

2. Ответ заканчивается на 25.

Например, чтобы возвести в квадрат число 35, мы просто умножаем первую цифру (3) на 4, то есть на единицу большую цифру, после чего добавляем 25. Так как 3 × 4 = 12, следовательно, ответ — 1225. Таким образом, 35 × 35 = 1225. Проделанные шаги можно представить следующим образом:

Как насчет возведения в квадрат числа 85? Так как 8 × 9 = 72, мы мгновенно получаем ответ: 85 × 85 = 7225.

Можно применить похожий прием при умножении двузначных чисел, начинающихся с одинаковых первых цифр, сумма вторых цифр которых равняется 10. Ответ будет состоять из числа, полученного с помощью вышеописанного метода (первая цифра умножается на цифру, на единицу большую), и произведения вторых цифр чисел, участвующих в умножении. Например, попробуем умножить 83 на 87. (Оба числа начинаются на 8, а сумма последних цифр 3 + 7 = 10.) Так как 8 × 9 = 72 и 3 × 7 = 21, ответ — 7221.

Подобным образом получаем из 84 × 86 = 7224.

Теперь ваша очередь. Попробуйте вычислить 26 × 24. С чего начинается ответ? С 2 × 3 = 6 . Чем заканчивается? 6 × 4 = 24. Значит, 26 × 24 = 624.

Помните, что использовать этот метод можно, только если первые цифры чисел одинаковы, а последние дают в сумме 10.

3) КАК ОПРЕДЕЛИТЬ ДЕНЬ НЕДЕЛИ 1 ЯНВАРЯ ЛЮБОГО ГОДА В XXI ВЕКЕ

Сначала ознакомьтесь с представленной таблицей.

Воскресенье – 7 или 0

Например, давайте выясним, каким днем недели будет 1 января 2030 года. Возьмите две последние цифры года и представьте себе, что это ваш счет в ресторане (в данном случае 30 долларов.) Теперь добавьте 25% чаевых, но излишки в центах оставьте себе. (Это можно вычислить, дважды разделив счет пополам и отбросив всю «мелочь». Половина от 30 равна 15, а половина от 15 — 7,50. Оставив излишки себе, получим чаевые в размере 7 долларов.) Отсюда следует, что ваш счет плюс чаевые составляет 37 долларов. Чтобы определить день недели, вычитаем из этой суммы наиболее близкое к ней (но не большее) произведение числа 7 (0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, …) и получаем в результате порядковый номер дня. В данном примере, 37 – 35 = 2, значит, 1 января 2030 года приходится на второй день недели, то есть на вторник.

Какой день недели 1 января 2043 года?

произведение цифры 7: – 49

Исключение: если год високосный, уберите 1 доллар из суммы чаевых, высчитанных ранее. Например, для 1 января 2032 года 25% от счета на 32 доллара будут равны 8 долларам чаевых. Вычитание 1 дает в итоге 32 + 7 = 39. Вычитание наибольшего по отношению к сумме счета произведения 7 дает 39 – 35 = 4. Итак, 1 января 2032 года приходится на четвертый день недели, четверг.

4) ЭКСТРАСЕНСОРНАЯ МАТЕМАТИКА

Попросите добровольца в аудитории загадать любое число, состоящее из одной-двух цифр. Затем скажите, что никоим образом не можете знать, что это за число, и предложите сделать следующее.

1. Удвойте число.

3. Разделите сумму на 2.

4. Вычтите из нее исходное число.

Спросите: «Думаете ли вы сейчас о цифре 6?» Опробуйте этот трюк сначала на себе и увидите, что данная последовательность вычислений всегда в итоге приводит к цифре 6, какое бы число вы изначально ни выбрали.

При повторении данного приема попросите добровольца прибавить другое число на втором шаге (скажем, 18). Итоговый ответ будет половиной этого числа (а именно 9).

5) МАГИЯ ЧИСЛА 1089

Следующий трюк существует уже не одно столетие. Сделайте так, чтобы человек из аудитории достал ручку и бумагу:

1) и тайно записал трехзначное число, цифры которого идут в порядке уменьшения (например, 851 или 973);

2) записал число в обратном порядке и вычел его из исходного числа;

3) к полученному ответу добавил его же, только в обратном порядке.

В конце последовательности магическим образом появится ответ 1089, какое бы число ни выбрал доброволец. Например:

Используя число 1089 из предыдущего примера, вручите добровольцу калькулятор и попросите умножить 1089 на любое трехзначное число, не называя его. (Предположим, он тайно умножил 1089 × 256 = 278 784) Теперь поинтересуйтесь, сколько цифр в полученном ответе. Ответ — 6.

Читайте также:  Холодильник издает звук сверчка

Затем попросите: «Громко назовите пять из этих шести цифр в любом порядке. Я попытаюсь определить недостающую». Предположим, доброволец громко перечисляет: «Два…четыре… семь… восемь… восемь». Вы вежливо говорите ему, что он пропустил цифру 7. Секрет основан на том, что число кратно 9 тогда, и только тогда, когда сумма составляющих его цифр кратна 9. Так как 1 + 0 + 8 + 9 = 18 кратно 9, значит, число 1089 кратно 9. Поэтому 1089 при умножении на любое целое число даст кратное 9. И раз уж прозвучавшие цифры в сумме дают 29, и следующее кратное 9, большее 29, это 36, то наш доброволец пропустил число 7 (так как 29 + 7 = 36).

6) БЫСТРЫЕ КУБИЧЕСКИЕ КОРНИ

Попросите кого-нибудь выбрать двузначное число, но не называть его. Затем попросите возвести это число в куб, то есть умножить само на себя трижды, используя калькулятор. Например, если секретное число 68, пусть доброволец вычислит 68 × 68 × 68 = 314 432 и назовет ответ. Как только он произнесет его вслух, вы можете мгновенно раскрыть секрет исходного числа — это кубический корень 68. Как это делается?

Чтобы быстро вычислять кубические корни, нужно выучить кубы чисел от 1 до 10.

Как только вы запомните эти значения, вычислять кубические корни станет так же легко, как и назвать значение числа π. Приведем пример.

Чему равен кубический корень из 314 432? Кажется, что это довольно сложное задание для начала, но не паникуйте, на самом деле оно довольно простое. Как обычно, будем двигаться постепенно.

1. Посмотрите на величину тысяч, 314 в данном примере.

2. Поскольку 314 лежит между 63 = 216 и 73 = 343, то кубический корень находится в диапазоне «60 плюс» (так как 603 = 216 000 и 703 = 343 000). Следовательно, первая цифра кубического корня будет 6.

3. Для определения последней цифры заметьте, что только куб числа 8 оканчивается на 2 (83 = 512), так что последней цифрой будет 8.

Поэтому кубический корень из 314 432 равен 68. Три простых шага — и вы у цели. Обратите внимание, что каждая цифра от 0 до 9 появляется по одному разу в виде последней цифры куба.

Чему равен кубический корень из 19 683?

1. 19 находится между 8 и 27 (23 и 33).

2. Следовательно, кубический корень лежит в диапазоне «20 плюс».

3. Последняя цифра в задаче 3, что соответствует 343 = 73, значит, 7 и будет последней цифрой.

Обратите внимание, что наши выводы по поводу последней цифры работают только тогда, когда исходное число является кубом целого числа.

7) УПРОЩЕННЫЕ КВАДРАТНЫЕ КОРНИ

Квадратные корни так же просто вычислить, если задан полный квадрат. Например, если кто-то сказал вам, что квадрат двузначного числа равен 7569, то вы в состоянии мгновенно ответить, что исходное число (квадратный корень) равно 87.

Вот как это делается.

1. Посмотрите на величину сотен (цифры, предшествующие последним двум) в данном примере.

2. Так как 75 находится между 82 (8 × 8 = 64) и 92 (9 × 9 = 81), то нам известно, что квадратный корень будет где-то в диапазоне «80 плюс». Следовательно, его первая цифра 8.

Существует два числа, квадраты которых заканчиваются на 9: 32 = 9, 72 = 49. Поэтому последняя цифра квадратного корня должна равняться 3 или 7. Таким образом, квадратный корень равен либо 83, либо 87. Какой из них?

3. Сравните исходное число с квадратом числа 85 (который можно легко посчитать как 80 × 9 0 + 25 = 7225). Так как 7569 больше, чем 7225, квадратный корень будет большим числом, то есть 87.

Решим еще один пример. Чему равен квадратный корень из 4761? Поскольку 47 лежит между 62 = 36 и 72 = 49, ответ должен находиться в диапазоне «60 плюс». Если последняя цифра квадрата равна 1, то последняя цифра квадратного корня должна быть 1 или 9. Так как 4761 больше 652 = 4225, то квадратный корень должен равняться 69. Как и с предыдущим трюком для кубического корня, этот метод можно использовать только тогда, когда исходное число является полным квадратом.

*Фотографии предоставлены издательством «Манн, Иванов и Фербер»

ИТОГО

Если подытожить, то по прочтении этой книги остается лишь один вопрос. Почему ТАК не учат в школе? Если бы нам преподавали математику как магию чисел, то, бесспорно, число ее поклонников было бы куда больше! А ведь это не только лучшая тренировка для мозга, но еще и полезные, нужные нам каждый день навыки быстрого счета. К счастью, любви все возрасты покорны. И, пожалуй, никому из нас еще не поздно закрутить с математикой увлекательнейший роман. Магия нам в помощь!

Итак, нам нужно запомнить эту таблицу.

Как это сделать? Очень легко! Нужно соединить слова, соответствующие числам, методом «Рассказ». Например, чтобы запомнить 11 – 121 – 1331, мы сначала подбираем слова к числам 11 – это кактус, 121 – кулек, 13 – кот, 31 – утка, а потом соединяем эти слова. В нашем случае получится следующий рассказ.

В цветочном магазине вы купили красивый кактус (11), аккуратно поставили его в кулек (121) и принесли домой. Ваш кот (13) неожиданно прыгнул на кулек и стал его царапать. Чтобы отогнать кота, вы бросили в него игрушечную утку (31). При этом вы слышите звук рвущегося кулька и мурлыканье кота, чувствуете резиновую поверхность игрушки.

Читайте также:  Above 4g decoding что это в биосе

А теперь запомним следующую строчку таблицы: 12 – 144 – 1728, в которой 12 – колье, 144 – качели чешуйчатые, 17 – коса, 28 – лев

Вы гуляете по парку и видите, как мама в бриллиантовом колье (12) катает свою дочку на качелях, покрытых блестящими чешуйками (144). Девочка высоко взлетает в воздух и ее длинная коса (17) касается бронзового льва (28). Вы слышите смех девочки, чувствуете холод чешуек, трогаете косу.

Приведем еще один пример и запомним эту строчку: 13 – 169 – 2197, в которой 13 – кот, 169 – кошелек дырявый, 21 – лук и 97 – доска.

Вы входите в комнату и видите, как ваш кот (13) грызет кошелек, проделывая в нем огромную дырку (169). Вы сильно огорчены и идете на кухню готовить ужин. Вы берете лук (21) и начинаете его резать на разделочной доске (97). При этом вы слышите звук рвущейся ткани и звон монет. Чувствуете вкус лука.

А теперь вы самостоятельно потренируйтесь и запомните оставшиеся строчки таблицы.

Мы уже достаточно потренировались в использовании метода «Рассказ», а сейчас давайте, применим метод «Наложение».

Площадь Черного моря 423 тыс. км2.

Итак, представляем карту Черного моря

и на эту карту накладываем 423 – чулок тянущийся.

Длина земной орбиты 939120 тыс. км.

В данном случае число содержит 6 цифр, делим его на две части: 939 – дети драчливые, 120 – колонка (водяная). А теперь представляем земную орбиту и накладываем эти цифры последовательно сверху вниз.

Длина Волги – 3531 км

35 – топор, 31 – утка

Горные системы Альпы – Монблан 4807км

В этом случае кроме чисел есть еще одна точная информация – это название самой высокой горы. Название мы запомним, подобрав созвучные слова: Монблан – МОНета и БЛАНк. Остается только запомнить следующую цепочку: Альпы, монета, бланк, червь (48), носки (07).

Как вы думаете, как мы это будем запоминать? Конечно, методом «Рассказ».

Представляем, как вы собираетесь в путешествие в Альпы. Вы берете с собой много монет, которые заворачиваете в ненужные бланки, чтобы не звенели. Вдруг из одного бланка выполз червь и упал в ваши носки. Вы слышите звон монет, чувствуете гладкую поверхность бланков, трогаете шерстяные носки. Одновременно удерживаем в воображении эту «картинку» и произносим: «Альпы – Монблан – 4807км».

Горные системы Гималаи – Джомолунгма 8848км

В этом случае, как и в предыдущем, название самой высокой вершины является точной информацией, которую надо тоже запомнить. Подбираем к названию «Джомолунгма» созвучное слово «джем». Обратите внимание, что нам достаточно только «намека» на название, поэтому созвучное слово может совпадать по первым буквам и быть коротким.

А теперь запомним следующую цепочку: Гималаи, джем, веревка (88), червь (48). Вы со своими друзьями пошли в поход в Гималаи. На привале вы подкрепились джемом и проверили свое оснащение – веревки (88). Вдруг одна из веревок пошевелилась – это оказался большой червь (48). Представляем эту ситуацию, слышим звон ложек о стеклянную банку, чувствуем крупное плетение веревки, ощущаем движения червяка. Одновременно удерживаем в воображении эту «картинку» и произносим: «Гималаи – Джомолунгма – 8848 км».

Далее потренируйтесь самостоятельно и запомните следующие географические данные.

Длина земной орбиты 939120 тыс. км

Средняя скорость движения Земли по орбите – 29,765 км/с

Масса Земли -5, 975 Х 10 (24) кг

Средняя плотность Земли – 5518 кг/м3

Поверхность Земли – 510,2 х 10 (6) км

1 миля = 1760 ярдам = 1, 609 км

Эта точная информация содержит следующую цепочку: мел, коса, шина, яд, рак, шина дырявая.

Наверняка, вы заметили, что десятичные дроби запоминаются иначе: сначала подбираем слово к целой части, а потом к дробной. Все остальное остается по-старому.

Запоминаем методом «Рассказ», т.к. элементов более 4. Представляем, как вы идете по дороге в Америке и мелом (миля) отмечаете пройденное расстояние. Девушку с длинной косой (17) очень заинтересовало ваше занятие, и она предложила вам свой автомобиль, чтобы быстрее передвигаться. Вы сели в автомобиль и поехали, как вдруг лопнула шина (60). Вы вышли из автомобиля и неожиданно наступили на ядовитого скорпиона (ярд). Новой шины у вас не было, поэтому вы вызвали эвакуатор. Чтобы скоротать время, вы решили поесть, открыли сумку с продуктами и заметили там огромного вареного рака (1). Чтобы не испачкать сиденье в машине, вы сели на дырявую шину (609) и плотно подкрепились. Теперь хорошо представьте этот рассказ, и одновременно удерживая в воображении «картинку», проговорите: 1 миля = 1760 ярдам = 1, 609 км.

А следующие единицы измерения запомните самостоятельно любым способом. Мы лишь поможем вам подобрать к названиям и числам соответствующие слова.

1 ярд = 3 фунтам = 36 дюймам

Получается цепочка: ядовитый скорпион (ярд), тигр (3) фантик (фунт), тушь для ресниц (36), Дюймовочка (дюйм).

Получается цепочка: ядовитый скорпион (ярд), нора (0), дырка (91), чучело (44), метр (измерительная лента).

1 фунт = 30, 48 см

Получается цепочка: фантик (фунт), трон (30), червь (48), линейка (сантиметры).

1 дюйм = 25, 400 мм

Получается цепочка: Дюймовочка (дюйм), лапти (25), чайник новый (400), микроском (миллиметры).

Ссылка на основную публикацию
Зажигалка djeep как заправить
Как заправить зажигалку? Перед тем как заправить зажигалку повторно, нужно удобно расположиться вхорошо проветриваемом помещении. Наличие навыков поможет все сделать...
Древнегреческие цифры от 1 до 1000
Греческие цифры на протяжении истории записывались в двух системах - в древней аттической системе и более поздней ионической. Переводчик чисел...
Зажигалка djeep как заправить
Как заправить зажигалку? Перед тем как заправить зажигалку повторно, нужно удобно расположиться вхорошо проветриваемом помещении. Наличие навыков поможет все сделать...
Изменить букву диска не активна
Откровенно говоря, толком не знаю, зачем может понадобиться изменить букву диска в Windows, кроме разве тех случаев, если какая-то программа...
Adblock detector